На листе бумаги имеется тринадцать строчек текста, пронумерованных по порядку. В каждой строчке написано: "Ложными являются лишь столько утверждений, содержащихся на этом листе, каков номер данной строчки". Сколько истинных утверждений было на самом деле?

Как изменится ответ при замене слова "лишь" на сочетание "по крайней мере"?

Ответ:

Не более одного утверждения может оказаться истинным.

Если бы все утверждения были ложными, то утверждение в строке 13 оказалось бы истинным, что противоречит самому этому утверждению. После аналогичной проверки других строк можно заключить, что только одно утверждение в строке по номером 12 истинно, а остальные ложны.

После замены слова ответ будет таким: только любые из 6 утверждений сверху листа могут быть истинными.

Если истинных утверждений N (они идут подряд сверху листа), то все последующие окажутся ложными. Они стоят в строках с номерами от N+1 до 13, а всего их 13-N. Истинных утверждений не может быть больше, чем ложных. Значит, N < 13-N, откуда N < 6,5. Следовательно, только любые из первых 6 утверждений сверху листа имеют право быть истинными, все остальные ложные.